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从不同视角看哥德巴赫猜想,数学未解之谜的等价公式

2021-06-11 09:58:03 作者:迷迷

哥德巴赫猜测是数学中最令人着迷的未解之谜之一。在这篇文章中,我将带你踏上穿越时刻和数学的旅程。

除了最初的界说之外,我将介绍一些看待这个猜测的其他办法。视觉上和代数上都有。咱们将证明一个等价性,并对它进行一些研讨。

质数(素数)

哥德巴赫猜测是关于质数的,在一头扎进数学中最古老、最“可怕”的问题之前,让咱们先试着理解一下为什么咱们应该首先关怀质数问题。

回想一下,质数是大于1的整数,只要1和它自身能除它。

前几个质数是2、3、5、7、11,…

在数学中,特别是在数论领域中,咱们研讨的是整数,而且咱们常常把咱们的研讨约束在被称为自然数的正整数上。也便是说,咱们对1、2、3、4、5、……等数字感兴趣。

在数学和自然界中,研讨不同目标的一个办法是研讨一切目标组成的根本构件。算术根本定理标明,每一个大于1的自然数都能够仅有地写成素数的乘积。也便是说,每个自然数都由一组仅有的质数组成。仅有的质因数分解。

例如,数字6可仅有写成23,28可仅有写成 227。从这个意义上说,假如咱们理解了质数的全部,那么许多关于自然数的信息就会随之而来。

作为类比,物理学家研讨物质和力的根本构件,如夸克、弦、量子场、动摇方程等。为了了解自然及其规则,化学家研讨原子怎么结合成分子,以更好地了解它们之间的反响,生物学家研讨细胞及其组成部分,以更好地了解生命自身。

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咱们研讨质数是由于它们是自然数的基础。

一个看似乏味的问题

1742年6月7日,德国数学家克里斯蒂安·哥德巴赫给史上最巨大的数学家之一莱昂哈德·欧拉写了一封信。尽管乍一看,这封信看上去毫无意义,但却蕴含了数学中最巨大的疑团之一。

他在信中提出了下列猜测:

每一个能够写成两个素数和的整数,也能够写成恣意多个素数的和,直到一切项都是1停止。

其时,数字1被以为是质数。

然后他在信的空白处提出了第二个猜测。

每一个大于2的整数都能够写成三个素数的和。

欧拉在1742年6月30日的一封信中回复了哥德巴赫,并提醒他他们之前的一次谈话,哥德巴赫在那次谈话中说,这两个猜测中的第一个将从他的陈说中得出

每一个正偶数都能够写成两个素数的和。

历史的视点来看,在数论中,重要的东西总是在边缘。想象费马。

下面是哥德巴赫1742年写给欧拉的信原件。


哥德巴赫1742年6月7日致欧拉的信(拉丁德文)哥德巴赫信中空白处的猜测现在被称为哥德巴赫猜测,用现代言语来说,它陈说了以下内容。

哥德巴赫猜测:每一个大于2的偶数都能够写成两个素数的和。

让咱们在前几例中测试一下。

4 = 2 + 26 = 3 + 38 = 3 + 510 = 3 + 7 = 5 + 5在某些情况下,有一种以上的办法来将数字写成两个素数的和。这个猜测没有说到这一点,所以当然是答应的。

这个猜测一直是许多数学家的创意来源,为了研讨这个问题,人们创造了许多东西。然而,近300年来,它打败了世界上最好的数学家,至今仍未得到解决。

欧拉自己说:

关于每个偶数都是两个素数的和,我以为这是一个完全确认的定理,虽然我不能证明它。

这个猜测到底说明晰什么?

在数学中,你常常能够从不同的视点来看待一些定理,有时某些视点比其他视点更清晰,这叫做等价。

假定你有两个出题A和B,假如说A和B是等价的,也便是说,假如A为真,那么B也为真,假如B为真,那么A也为真。

例如:

设S是实数的子集。然后是两个表述

A:你能够用1除以S中的任何数B:0不在S里

A和B是等价的。由于假定A为真。那么0不能在S中,由于1不能除以0,因而B也是正确的。反过来,假定B为真,然后咱们能够用1除以S中的任何数由于仅有不能用1除以的实数是0,因而A一定是正确的。

留意(至少对我来说)上面的陈说B比陈说A更清楚更简单理解。这仅仅两个表述等价的一个简单例子。但在现实生活中,它们往往更难证明。

哥德巴赫猜测的几许学

咱们来看看这个猜测到底是什么样子的。

一个数是偶数当然意味着它能被2整除。那么两个数的和是偶数是什么意思呢?咱们能够从几许的视点来看,首先留意到,出题p+q = 2n等价于(p+q)/2 = n,也便是说,p和q的平均值等于n。

这在几许上说明晰什么?想象一下实线,中间是0,左面是负号,右边是正号,包含了你一般以为的一切数字。

由以上陈说可知,实数线上存在一个以n为圆心的圆与实数线上的p和q相交,即p和q在数轴上与n的间隔持平。咱们稍后会用到这个事实,记住这对任何数字p和q都建立,而不仅仅是质数。

简而言之:设p、q、n为满足p + q = 2n的任何自然数,则p和q对称地散布在n周围。

咱们能够把哥德巴赫猜测用这种言语表述:

关于n≥2的整数,在以n为圆心的平面上存在一个圆,圆的半径r使0≤r≤n-2而且n是质数,那么r = 0或圆与实数相交于两个素数。

这实际上等同于哥德巴赫猜测。

这是一个更好的看待它的视角吗?或许不是,但至少它给了一个关于这个问题的很好的几许直觉。它说在整数和质数之间存在一种潜在的对称性。


请留意,咱们并不需求这些圆,咱们只需求这些数字对称地散布在直线上n的周围。然而,我以为这些圆圈给了咱们一种很好的几许直觉来描述这一现象。

在下一节中,咱们将从这个观点中得到启发,并实际证明另一个等价性。

半素等效

在数论中,咱们倾向于把问题分红两组。加法问题和乘法问题。例如,咱们质因数分解一个大于1的自然数便是一个乘法问题。孪生素数猜测和哥德巴赫猜测在本质上更具有可加性。

假如哥德巴赫猜测有一种更乘法的办法呢?

科普一下,半素数是两个素数的乘积的自然数。

前几个半素数是4、6、9、10……

半质数不像质数那样被广泛评论,但在某种意义上,它们“接近”于质数,这自身就使它们值得研讨。我断言下面的表述和哥德巴赫猜测是等价的。

表述1:关于一切n≥2,存在一个整数m,使0≤m≤n-2且n- m是一个半素数。

让咱们来证明以下出题:

出题:表述1等价于哥德巴赫猜测。

证明:

假定哥德巴赫猜测建立,假定有一个整数n≥2。然后咱们假定关于一些质数p和q 2n = p + q。然后咱们假定关于一些质数p和q ,2n = p + q。

假定p≤q不失一般性,则经过以上评论,存在一个整数m,使0≤m≤n-2且

p = n - mq = n + m即n - m = (n - m)(n + m) = p q。

所以n- m是一个半素数。

反过来,假定表述1建立,假定有一个数2n, n≥2。咱们需求证明2n能够写成两个素数的和。

经过假定,咱们能够找到一个0≤m≤n-2且n- m为半素数的数m。既然n- m= (n - m)(n + m)那么n - m和n + m都是质数,然后咱们有:

2n = (n - m) + (n + m),因而2n是两个素数的和。

Q.E.D.

这当然意味着,假如你证明晰表述1,那么你就暗示着证明晰哥德巴赫猜测(反之亦然)。

可视化哥德巴赫猜测

这在视觉上是怎样的?

事实证明,你能够把整数想象成由小立方体构成的1、2或3维的盒子。


例如,数字6能够用1 × 6的一维立方体或2 × 3的二维立方体构成,


27能够用3 × 9的二维立方体或3 × 3 × 3的三维立方体来构成。


想象你有一个二维的小立方体的正方形。

依据上面的哥德巴赫猜测,不论你的正方形有多大,你都能够移除一些较小的正方形(或不移除),这样得到的形状只能被重建成一维或二维的盒子,而不是三维的。

咱们在图中看到9-4。这些粉色方块在三维上不能构成一个盒子,二维上只能构成一个5 × 13的盒子,一维上只能构成一个1 × 65的盒子。好奇心和笼统的重要性

质数的研讨很重要,由于,正如开头说到的,他们建立了一切其他数字,这种哲学已经延续了2000多年。但其时希腊人不知道的是,2300年后,质数的信息在网络安全和在线买卖中扮演了至关重要的角色。欧几里得很巨大,但他不或许预见到互联网的发明。

这标明,尽管一些纯数学学科的研讨或许没有直接应用于社会或影响咱们的日常生活方式,但它或许改变2000年后人类的生活方式。

好奇心是科学中最重要的礼物。


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